Evariste Galois - Su obra


La aportación de Evariste Galois a las matemáticas no es sencilla de entender por su complejidad y la novedad, incluso para los tiempos actuales, que encierra en su interior. No fue completamente comprendida por los matemáticos de su época, algunos sencillamente la ignoraron, y hasta finales del siglo XIX no se descubrió su profundidad y alcance.

Se centra fundamentalmente en el campo del álgebra, rama a la que dió un impulso casi definitivo. Sus investigaciones dieron lugar a la llamada Teoría de Grupos y Cuerpos de Galois. Para hacernos una idea de su importancia baste decir que las estructuras algebráicas llamadas Grupos de Galois son utilizadas asiduamente en los tiempos actuales en ramas de la técnica como la Criptografía, la Informática o las Telecomunicaciones.

En estas páginas nos vamos a centrar, de una forma muy resumida, en dos de sus campos de trabajo fundamentales: la resolución de ecuaciones polinómicas y la noción de Grupo de Galois.


Resolución de ecuaciones polinómicas

Nosotros sabemos resolver ecuaciones cuadráticas (de grado 2) de la forma ax2+bx+c=0. Resolver una ecuación consiste en encontrar el o los valores de x que hacen que la igualdad anterior sea cierta. Conocemos una fórmula general para encontrar esos valores de x (llamados raices) para las ecuaciones de grado 2. Dicha fórmula es la siguiente:

x =

-b ± Ö(b2 - 4ac)

------------------

2a

De igual modo se conocen, y se conocían en época de Galois, fórmulas similares, aunque bastante más complejas, para resolver ecuaciones de grado 3 y 4.

Sin embargo, cuando nos enfrentamos con ecuaciones de grado 5 las cosas se tuercen. Galois trabajó durante mucho tiempo en la obtención de una fórmula general válida para ecuaciones de grado 5 y superiores. Normalmente sus esfuerzos concluian en ecuaciones erróneas y más complicadas de resolver que la ecuación original. Finalmente demostró, casi simultaneamente con otro brillante matemático llamado Niels Henrik Abel, la imposibilidad de encontrar una solución general a estas ecuaciones utilizando únicamente la suma, la resta, la multiplicación, la división, la exponenciación y la radicación de los coeficientes (es decir, mediante radicales). Llegó a la conclusión de que dichas ecuaciones sólo pueden resolverse de forma aproximada utlizando técnicas de cálculo numérico. Sin embargo, existen muchas ecuaciones de grado 5 y superiores perfectamente resolubles mediante radicales. Son casos particulares, pero Galois enunció y demostró un teorema, a veces llamado teorema de Galois, para identificar dichas ecuaciones. Dice así: «Si en una ecuación polinómica la potencia más alta es un múmero primo y si, supuesto conocidos dos valores de la x, los demás se pueden obtener a partir de ellos usando únicamente la suma, la resta, la multiplicación y la división, entonces la ecuación puede ser resuelta mediante radicales.»


Noción de Grupo de Galois

La aportación más importante que Evariste Galois hizo a las matemáticas de su tiempo fue el concepto de Grupo. Le fue necesario construirlo para encontrar una forma más general y menos engorrosa que la que porporcionaba el teorema anteriormente enunciado, de identificar las ecuaciones de grado 5 y superiores resolubles mediante radicales. El concepto no es en absoluto sencillo e intentaremos introducirlo de la forma más somera e inteligible posible.

En primer lugar hay que fijarse en ordenaciones de letras o números conocidas como permutaciones. Los números 1, 2 y 3 pueden ser colocados de las formas 123, 132, 213, 231, 312 y 321. Llamemos a la permutación 123 permutación identidad y consideremos una forma de expresar las permutaciones consistente en representarlas en dos líneas con la identidad en la línea de arriba y la permutación correspondiente en la línea de abajo. Así tenemos:

( 123 ) ( 123 ) ( 123 ) ( 123 ) ( 123 ) ( 123 )
123 132 213 231 312 321

Una vez establecida la notación que usaremos vamos a definir una operación binaria en el conjunto de permutaciones. Consideremos dos cualesquiera:

( 123 ) ( 123 ) = ( 123 )
213 132 231

La operación actúa así. Si consideramos en primer lugar la segunda permutación y después la primera, observamos que lo que se ha hecho es relacionar de forma secuencial los números obtenidos por la segunda permutación con los obtenidos con la primera del siguiente modo:

1 ®1 ®2

2 ®3 ®3

3 ®2 ®1

Esta operación (que llamaremos producto) es interna; es decir, el producto de dos permutaciones es otra permutación. Se dice que cumple la propiedad de cierre. Además verifica otras propiedades que hacen que el conjunto de las permutaciones, según definición de Galois, tenga estructura de Grupo respecto de esta operación. Dichas propiedades son las siguientes:

  1. Asociatividad: El orden al combinar dos permutaciones adyacentes es indiferente. Si llamamos a, b y c a tres permutaciones y * a la operación, esta propiedad se puede representar como (a*b)*c = a*(b*c).
  2. Elemento neutro: Existe una permutación, que notaremos por e, tal que dada cualquier permutación a, se verifica que a*e = a. En nuestro caso la permutación neutra es
    ( 123 )
    123
  3. Elemento inverso: Dada cualquier permutación a, existe otra, que notaremos por a-1 tal que a*a-1 = e. Por ejemplo, si consideramos la permutación
    ( 123 )
    312
    su inversa es
    ( 123 )
    231
    ya que
    ( 123 ) ( 123 ) = ( 123 )
    231 312 123

La investigación de Galois prosiguió en la línea ya definida llegando a enunciar una condición para que una ecuación polinómica cualquiera pueda ser resoluble madiante radicales. De forma resumida Galois afirmó que si los coeficientes de una ecuación conforman una estructura de Grupo de Galois respecto de una determinada operación definida por él y el tal grupo verifica una serie de condiciones también concretadas, entonces la ecuación es resoluble mediante radicales.

Los axiomas de grupo los definió Galois dentro de su trabajo relativo a resolución de ecuaciones polinómicas. Es decir que, para conseguir un objetivo concreto como fue determinar la resolubilidad mediante radicales de una ecuación polinómica, le fue necesario crear toda una estructura algebráica de enorme aplicación en ramas de la matemática que no tienen nada que ver con el origen de su estudio. Incluso en campos técnicos no directamente relacionado con las matemáticas. Esta característica es la que determina la trascendencia de un descubrimiento y la genialidad de su autor.